Стр. 3

Точен препис на написаното от листа, сложен над снимката за по-лесно четене.

Препис от снимката

ред на Фурие                                                                 стр. 3

- норма - дължина/големина на вектора (||S||). Ако в едно пространство
на сигналите сме намерили нормите на всички сигнали, пространството
се нарича нормировано

- метрика - разстоянието между два вектора : ρ(u,v) = ||2u|| - ||1v||
принципно е с няколко променени знака : ρ(u,v)=||u-v|| = -(||v||-||u||)= -ρ(v,u)
Ако е определ. проср. сме намерили разстоянието му което и да е два
сигнала, пространството се нарича метрично

- енергия на сигнал S(t)) мощност. P = U·I = I²R = U²/R , моментна мощност : p = s²(
енергия получаваме като интегриране мощността :
E = ∫₋∞⁺∞ p(t)dt = ∫ s²(t)dt = ∫ s·s* dt
норма на ел. сигнали: ||S|| = √∫₋∞⁺∞ s²(t)dt = √[∫ s s* dt]

- скаларно произведение : |A + B|² = |A|² + |B|² + 2AB cosφ
енергия: E = ∫₋∞⁺∞ |u + v|² dt = Eu + Ev + 2∫ uv dt

(u,v) = ∫₋∞⁺∞ u(t)v(t)dt ; 1) (u,v)=0 -> сигналите са независими
                         2) (u,v)<0 -> фазова разлика < 90°
                         3) (u,v)>0 -> фазова разлика 90; 180°

- ортогонална система - състои се от независими сигнали (90°); единия
сигнал се проектира във другия в 1 точка. смисълът на такова
е, че така съкрутено от независими сигнали може да се представят вярно
сигнали при съобщения. колинеарни сигнали при φ=0 -> max
скаларно произведение

- обобщен ред на Фурие - основа върху която се изграждат решенията на
задачите, свързани с апроксимироването на сложни с прости сигнали;
s(t) = ∑ᵢ₌₁^∞ Cᵢ·uᵢ(t)        // Cᵢ - проекции във координатните оси
общ израз за един коефициент: 1) uₖ(t)s(t)=∑ Cᵢ·uᵢ(t).uₖ(t)   // умнож. по фазово
ортогонтиране: ∫ₜ₁ₜ₂ uₖ(t)s(t)dt = ∑ Cᵢ ∫ₜ₁ₜ₂ uᵢ(t).uₖ(t)dt
3) ∫ₜ₁ₜ₂ uₖ(t)s(t)dt = Cₖ ∫ₜ₁ₜ₂ uₖ²(t)dt
4) Cₖ = (∫ uₖ(t)S(t)dt) / (∫ uₖ²(t)dt) ; ортогонален базис => Cₖ = ∫ₜ₁ₜ₂ uₖ(t)S(t)dt = (S,Uₖ)

Апроксимиране на периодични сигнали. Равенство на Парсевал

- хармонично трептене => s₁ = A sin(ωt) ; s₂(t)= A cos(ωt); -> най-прост (1 честотен съ-
сигнали, които се разлагат в ред на Фурие отговарят на усл. на Дирих
1) сигнала трябва да е ограничен
2) в краен интервал сигнала не може да има безкрайно мн. прескачане
3) редът може да се развие в краен брой интервали, в които е монотонно

- пълна тригонометрична форма на реда на Фурие:
s(t) = a₀/2 + ∑ₙ₌₁^∞ [an cos(nω₀t) + bn sin(nω₀t)]     // ω₀ = 2πf = 2π/T -> ъглова
честота

uₖ(t) = cos(nω₀t) = sin(nω₀t)
a₀ = 2/T ∫ s(t)dt
An = 2/T ∫ s(t)cos(nω₀t)dt
bn = 2/T ∫ s(t)sin(nω₀t)dt

- АСС и ФЧС:
АСС: Cn = √(aₙ² + bₙ²)
ФЧС: φn = - arctg (bn/an)

aₙ = Cn cos(φn)
bₙ = -Cn sin(φn)

I→II         I,II,...
с нарастване на хармон.
член:
→ амплитудата намалява
→ честота намалява

п. 300 Hz