Стр. 4

Точен препис на написаното от листа, сложен над снимката за по-лесно четене.

Препис от снимката

- секцията тригонометрична форма на реда на Фурие                         стр.4

S(t) = a₀/2 + ∑∞/n Cn cos(nω₀t + φn)      ) хармоник - синусоида
a₀ - постоянна съставка с нулева честота;  ) (не може да е правоъгълен
Cn - амплитуди на хармониците                ) или Δ - лен сигнал)
φn - фази                                    a₀ - сума от хармоници

- спектрална диаграма - графично представяне на АЧС и ФЧС

- особености на спектъра на периодични сигнали                              стр.8v
→ спектъра на непрекъснат сигнал е дискретен
→ по-голяма честота → по-голямо честотно отстояние между спектрал. съставки
→ основната част от енергията се предава от нискочест. съставки
→ високочест. носят информацията

- свойства на реда на фурие:
1) когато сигналът S(t) е четна ф-я, bn = 0; при нечетна - an = 0
2) преместването на абсцисната ос изменя само стойността на a₀, а на
   ординатната само на фазата (ФЧС)
3) a₀ = 0 ако положит. и отриц. стойности на s(t) описват еднакви лица
4) принцип на суперпозицията → ако s(t) = s'(t) + s''(t) + ... , то
   an = an' + an'' + ...      и      bn = bn' + bn'' + ...

- свойства на спектъра на поредица правоъгълни импулси
1) всички съставки η, които отговарят на п.к = 1,2,... са 0
2) нискочестотните съставки топмят енерг.
3) намаляване на коеф. на запълване разширява спектъра на поредицата
4) увеличаване на периода води до сгъстяване на честотните съставки

равенство на Парсевал - определя начина на разпределение на ел. енергия
спрямо чес
P = s²(t) = 1/T ∫t₀^(t₀+T) s²(t)dt = (a₀/2)² + 1/2 ∑ Cn²      // средна мощност


Комплексна форма. Спектър на непериодични сигнали

Sn(t) = Cn cos(nω₀t + φn)             }
cos x = (eʲx + e⁻ʲx) / 2              }  иден.
Sn(t) = Cn/2 eʲ(nω₀t + φn) + Cn/2 e⁻ʲ(nω₀t + φn)

това дава възможност за изобразяване с вектор (с големина и ъгъл)
C̃n = Cn/2, ψ-n = -φn   >>
s(t) = a₀/2 + ∑∞/n [ Cn/2 · eʲ(nω₀t+φn) + C-n/2 · e⁻ʲ(nω₀t+φn) ]

⇒ S(t) = 1/2 ∑ C̃n · eʲnω₀t ]

C̃n = Cn·eʲφn = Cn cosφn + jCn sinφn = an - jbn = 2/T ∫ S(t)·e⁻ʲnω₀t dt   (комплекс
амплитуда)

- чрез ред на Фурие се представят периодични
  сигнали, които са непериодични във времето
- чрез преобразуване на Фурие се представят
  ограничените във времето сигнали (непериоди)

- спектър на непериодичен сигнал - непрекъснат,
  спектър на периодичен сигнал - дискретен

- право преобразуване: S'(ω) = ∫ s(t)e⁻ʲωt dt
- обратно преобразуване: s(t) = 1/2π ∫ S'(ω)·eʲωt dω

Извод: сигнал с крайна продължителност има безкраен спектър и